№ 22.21 Алгебра = № 42.21 Математика
$x_1$ і $x_2$ – корені рівняння $x^2 – 5x – 2 = 0.$ Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:
1. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2};$
2. $x_1^2x_2+x_2^2x_1;$
3. $x_1^2+x_2^2;$
4. $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1};$
5. $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2};$
6. $(x_1-x_2)^2.$
Розв'язок:
$x^2-5x-2=0.$
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=5,\\x_1x_2=-2.\\\end{matrix}\right.$
1. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=$
$= -\frac{5}{2}=-2{,}5;$
2. $x_1^2x_2+x_2^2x_1=$
$= x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=-2\cdot5=$
$= -10;$
3. $x_1^2+x_2^2= \left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)-$
$- 2x_1x_2=$
$= \left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=$
$= 5^2-2\cdot(-2)=$
$= 25+4=29;$
4. $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{29}{-2}=$
$= -\frac{29}{2}=-14{,}5;$
5. $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=$
$= \frac{29}{(-2)^2}=\frac{29}{4}=7\frac{1}{4}=7{,}25;$
6. $ \left(x_1-x_2\right)^2=$
$= x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=$
$= 29-2\cdot(-2)= $
$= 29+4=33.$