№ 22.20 Алгебра = № 42.20 Математика
$x_1$ і $x_2$ – корені рівняння $x^2 + 4x – 3 = 0.$ Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:
1. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2};$
2. $\ x_1^2x_2+x_2^2x_1;$
3. $x_1^2+x_2^2;$
4. $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1};$
5. $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2};$
6. $(x_1-x_2)^2.$
Розв'язок:
$x^2+4x-3=0.$
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-4,\\x_1x_2=-3.\\\end{matrix}\right.$
1. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=$
$= \frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3};$
2. $x_1^2x_2+x_2^2x_1=$
$= x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=$
$= -3\cdot(-4)=12;$
3. $x_1^2+x_2^2=$
$= \left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)-$
$- 2x_1x_2= $
$= \left(x_1+x_2\right)^2- 2x_1x_2=$
$= (-4)^2-2\cdot(-3)=$
$= 16+6=22;$
4. $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=$
$= \frac{22}{-3}=-\frac{22}{3}=-7\frac{1}{3};$
5. $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2}=$
$= \frac{x_2^2+x_1^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\frac{22}{(-3)^2}=$
$= \frac{22}{9}=2\frac{4}{9};$
6. $\left(x_1-x_2\right)^2=$
$= x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=$
$= 22-2\cdot(-3)=$
$= 22+6=28.$