№ 21.19 Алгебра = № 41.19 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $(\sqrt x-3)\left(x^2-x-6\right)=0;$
2. $x^2-\frac{2x^2}{|x|}-3=0;$
3. $x|x|-4x-5=0;$
4. $\frac{x^3}{|x|}+4x-12=0.$
Розв'язок:
1. $(\sqrt x-3)\left(x^2-x-6\right)=0;$
ОДЗ: $x\geq0.$
а) $\sqrt x-3=0;\sqrt x=3;$
$(\sqrt x)^2=3^2;x=9;$
б) $x^2-x-6=0;$
$D=(-1)^2-4·1·(-6)=$
$= 1+24=25;$
$x_1=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3;$
$ x_2=\frac{1-5}{2}=-\frac{4}{2}=-2.$
Оскільки $-2<0,$ то $–2$ не є коренем рівняння.
2. $x^2-\frac{2x^2}{|x|}-3=0;$
одз: $x\neq0.$
а) Якщо $x>0,$ то $x^2-2x-3=0;$
$D=(-2)^2-4·1·(-3)=$
$= 4+12=16;$
$x_1=\frac{2+4}{2}=3;$
$x_2=\frac{2-4}{2}=-1.$
Оскільки $-1<0,$ то $–1$ не є коренем рівняння.
б) Якщо $x<0,$ то $x^2+2x-3=0;$
$D=2^2-4·1·(-3)=$
$= 4+12=16;$
$x_3=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1;$
$ x_4=\frac{-2-4}{2}=-3.$
Оскільки $1>0,$ то $1$ не є коренем рівняння.
3. $x|x|-4x-5=0.$
а) Якщо $x\geq0,$ то $x^2-4x-5=0;$
$D=(-4)^2-4·1·(-5)=$
$= 36;$
$x_1=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5;$
$ x_2=\frac{4-6}{2}=-\frac{2}{2}=-1.$
Оскільки $-1<0,$ то $–1$ не є коренем рівняння.
б) Якщо $x<0,$ то $-x^2-4x-5=0;$
$ x^2+4x+5=0;$
$D=4^2-4·1·5=$
$= 16-20=-4<0.$
Оскільки $D<0,$ то рівняння $x^2+4x+5=0$ коренів не має.
4. $\frac{x^3}{|x|}+4x-12=0;$
ОДЗ: $x\neq0.$
a) Якщо $x>0,$ то $x^2+4x-12=0;$
$D=4^2-4·1·(-12)=64;$
$x_1=\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}=2;$
$x_2=\frac{-4-8}{2}=-\frac{12}{2}=-6.$
Оскільки $-6<0,$ то$ –6$ не є коренем рівняння.
б) Якщо $x<0,$ то $-x^2+4x-12=0;$
$ x^2-4x+12=0;$
$D=(-4)^2-4·1·12=$
$= 16-48=-32<0.$
Оскільки $D<0,$ то рівняння $x^2-4x+12= 0$ коренів не має.
Відповідь:
1. $9; 3;$
2. $-3;3;$
3. $5;$
4. $2.$