№ 21.18 Алгебра = № 41.18 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $(\sqrt x-2)\left(x^2+x-2\right)=0;$
2. $x^2-\frac{3x^2}{|x|}-4=0;$
3. $x\left|x\right|+3x-4=0;$
4. $\frac{x^3}{|x|}-x-2=0.$
Розв'язок:
1. $(\sqrt x-2)\left(x^2+x-2\right)=0;$
ОДЗ: $x≥0;$
$\sqrt x-2=0$ або $x^2+x-2=0;$
$\sqrt x=2;(\sqrt x)^2=2^2;x=4;$ або
$D=1-4·1·(-2)=$
$= 1+8=9;$
$x_1=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1;$
$x_2=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2.$
Оскільки $-2<0,$ то $-2$ не ϵ коренем рівняння.
2. $x^2-\frac{3x^2}{|x|}-4=0;$
ОДЗ: $x≠0.$
а) Якщо $x>0,$ то $x^2-\frac{3x^2}{x}-4=0;$
$x^2-3x-4=0;$
$D=3^2-4·1·(-4)=$
$= 9+16=25;$
$x_1=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4;$
$x_2=\frac{3-5}{2}=-\frac{2}{2}=-1<0,$
тому $–1$ не є коренем рівняння.
б) Якщо $x<0,$ то $x^2-\frac{3x^2}{-x}-4=0;$
$x^2+3x-4=0;$
$D=3^2-4·1·(-4)=$
$= 9+16=25;$
$x_3=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1>0;$
$x_4=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4.$
Оскільки $1>0,$ то $1$ не є коренем рівняння.
3. $x\left|x\right|+3x-4=0.$
a) Якщо $x\geq0,$ то $x^2+3x-4=0;$
$D=3^2-4·1·-4=$
$= 9+16=25;$
$x_1=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1;$
$x_2=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4<0.$
Оскільки $-4<0$ то $–4$ не є коренем рівняння.
б) Якщо $x<0,$ то $-x^2+3x-4=0;$
$x^2-3x+4=0;$
$D=3^2-4·(-1)·(-4)=$
$=9-16=-7<0.$
Оскільки $D<0,$ то рівняння $x^2-3x+4=0$ коренів не має.
4. $\frac{x^3}{|x|}-x-2=0;$
ОДЗ: $x≠0.$
а) Якщо $x>0,$ то $\frac{x^3}{x}-x-2=0;$
$x^2-x-2=0;$
$D=(-1)^2-4·1·(-2)=$
$= 1+8=9;$
$x_1=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2;$
$ x_2=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1.$
Оскільки $-1<0,$ то $–1$ не є коренем рівняння.
б) Якщо $x<0,$ то $-x^2-x-2=0;$
$x^2+x+ 2=0;$
$D=1^2-4·1·2=$
$= 1-8=-7<0.$
Оскільки $D<0,$ то рівняння $x^2+x+2=0$ коренів не має.
Відповідь:
1. $1;4;$
2. $–4; 4;$
3. $1;$
4. $2.$