Завдання № 21.16

№ 21.16 Алгебра =  № 41.16 Математика

Розв’яжіть рівняння:

1. $\frac{1}{2}x^2-x-7=0;$

2. $-x^2-2x+4=0;$

1. $0{,}1x^2-3x-5=0;$

2. $0{,}5x^2+1{,}5x-4=0.$

Розв'язок:

1. $\frac{1}{2}x^2-x-7=0|·2;$

$x^2-2x-14=0;$

$D=(-2)^2-4·1·(-14)=$

$= 4+56=60;$

$x_1=\frac{2+\sqrt{60}}{2}=\frac{2+\sqrt{4\cdot5}}{2}=$

$= \frac{2+2\sqrt{15}}{2}= \frac{2(1+\sqrt{15})}{2}=$

$= 1+\sqrt{15};$

$x_2=\frac{2-\sqrt{60}}{2}=\frac{2-2\sqrt{15}}{2}=$

$= \frac{2(1-\sqrt{15})}{2}=1-\sqrt{15}.$

2. $-x^2-2x+4=0;$

$x^2+2x-4=0;$

$D=2^2-4·1·(-4)=$

$= 4+16=20;$

$x_1=\frac{-2+\sqrt{20}}{2}=\frac{-2+\sqrt{4\cdot5}}{2}=$

$= \frac{-2+2\sqrt5}{2}\ =\frac{2(\sqrt5-1)}{2}=$

$= \sqrt5-1=-1+\sqrt5;$

$x_2=\frac{-2-\sqrt{20}}{2}=\frac{-2-2\sqrt5}{2}=$

$= \frac{-2(\sqrt5+1)}{2}=-(\sqrt5+1)=$

$= -1-\sqrt5.$ 

3. $0{,}1x^2-3x-5=0\mid·10;$

$x^2-30x-50=0;$

$D=(-30)^2-4·1·(-50)=$

$= 900+200=1100;$

$x_1=\frac{30+\sqrt{1100}}{2}=\frac{30+\sqrt{100\cdot11}}{2}=$

$= \frac{30+10\sqrt{11}}{2}=\frac{10(3+\sqrt{11})}{2}=$

$5(3+\sqrt{11})=15+5\sqrt{11};$

$x_2=\frac{30-\sqrt{1100}}{2}=\frac{30-\sqrt{100\cdot11}}{2}=$

$= \frac{30-10\sqrt{11}}{2}=\frac{10(3-\sqrt{11})}{2}=$

$= 5(3-\sqrt{11})=15-5\sqrt{11}.$

4. $0{,}5x^2+1{,}5x-4=0\mid·10;$

$5x^2+15x-40=0\mid:5;$

$x^2+3x-8=0;$

$D=3^2-4·1·(-8)=$

$= 9+32=41;$

$x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{2};$

$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}.$

Відповідь:

1. $1-\sqrt{15};1+\sqrt{15};$

2. $-1-\sqrt5;-1+\sqrt5;$

3. $15\pm5\sqrt{11};$

4. $\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2}.$