№ 15.25 Алгебра = № 31.25 Математика
Доведіть, що число $\sqrt3$ є ірраціональним.
Розв'язок:
Нехай $\sqrt3=\frac{m}{n},$ де $\frac{m}{n}$ – нескоротний дріб.
Тоді $3=\frac{m^2}{n^2}; m^2=3n^2.$
Оскільки $m^2$ кратне $3,$ то $m$ також кратне $3,$ тобто $m=3k.$
$(3k)^2=3n^2;9k^2=3n^2;$
$3k^2=n^2.$
Оскільки $n^2$ кратне $3,$ то $n$ також кратне $3,$ тобто $n=3l.$
Отже, $\left\{\begin{matrix}m=3k,\\n=3l,\\\end{matrix}\right.$ тобто дріб $\frac{m}{n}$ – скоротний, що суперечить нашому припущенню.
Тому $\sqrt3$ не можна записати у вигляді нескоротного дробу $\frac{m}{n}.$
Отже, $\sqrt3$ – число ірраціональне.