№ 15.24 Алгебра = № 31.24 Математика
Доведіть, що число $\sqrt2$ є ірраціональним.
Розв'язок:
Нехай $\sqrt2=\frac{m}{n},$ де $\frac{m}{n}$ – нескоротний дріб.
Тоді $2=\left(\frac{m}{n}\right)^2;\frac{m^2}{n^2}=2;$
$2n^2=m^2.$
Оскільки $m^2$ – парнечисло, то $m$ – парне число, тобто $m=2k;2n^2=(2k)^2;$
$2n^2=4k^2; n^2=2k^2.$
Оскільки $n^2$ – парне число, то $n$ – парне число, тобто $ n=2l.$
Отже, $\left\{\begin{matrix}m=2k,\\n=2l.\\\end{matrix}\right. $тобто дріб $\frac{m}{n} $– скоротний, що суперечить нашому припущенню.
Тому $\sqrt2$ не можна записати у вигляді нескоротного дробу $\frac{m}{n}.$
Отже, $\sqrt2$ – число ірраціональне.