№ 3.16 Алгебра = № 3.16 Математика
Доведіть тотожність:
1)$\frac{\left(a\ -\ b\right)^2}{2ab}\ -\ \frac{\left(a\ +\ b\right)^2}{2ab}\ =\ -2;$
2)$\frac{\left(a\ +\ b\right)^2}{a^2\ +\ b^2}\ +\ \frac{\left(a\ -\ b\right)^2}{a^2\ +\ b^2}\ =\ 2.$
Розв'язок:
1)$\frac{\left(a\ -\ b\right)^2}{2ab}\ -\ \frac{\left(a\ +\ b\right)^2}{2ab}\ =$
$= \ \frac{a^2\ -\ 2ab\ +\ b^2\ -\ (a^2\ +\ 2ab\ +\ b^2)}{2ab}\ = $
$= \frac{a^2\ -\ 2ab\ +\ b^2\ -\ a^2\ -\ 2ab\ -b^2}{2ab}\ = $
$= \ \frac{-4ab}{2ab}\ =$
$= \ -2,$ що й треба було довести.
2)$\frac{\left(a\ +\ b\right)^2}{a^2\ +\ b^2}\ +\ \frac{\left(a\ -\ b\right)^2}{a^2\ +\ b^2}\ =$
$= \ \frac{a^2\ +\ 2ab\ +\ \ b^2\ +\ a^2\ -\ 2ab\ +\ \ b^2}{a^2\ +\ b^2}\ =$
$= \ \frac{2a^2\ +\ 2\ b^2}{a^2\ +\ b^2}\ =\ \frac{2(a^2\ +\ b^2)}{a^2\ +\ b^2}\ =$
$ = \ 2,$ що й треба було довести.