№ 10.31 Алгебра = № 20.31 Математика
Скоротіть дріб:
1. $\frac{5^{n+2}-5^n}{12};$
2. $\frac{x^7+x^{10}}{x^{-1}+x^2};$
3. $\frac{m^{-3}+5-m^7}{5m^2-m^9+m^{-1}}.$
Розв'язок:
1. $\frac{5^{n+2}-5^n}{12}=\frac{5^2\cdot5^n-5^n}{12}=$
$= \frac{5^n(25-1)}{12}=\frac{24\cdot5^n}{12}=2\cdot5^n;$
2. $\frac{x^7+x^{10}}{x^{-1}+x^2}=\frac{x^7\left(1+x^3\right)}{\frac{1}{x}+x^2}=$
$= \frac{x^7\left(1+x^3\right)}{\frac{1+x^3}{x}}=\frac{x\cdot x^7\left(1+x^3\right)}{1+x^3}=$
$= x\cdot x^7=x^8;$
3. $\frac{m^{-3}+5-m^7}{5m^2-m^9+m^{-1}}=$
$= \frac{\frac{1}{m^3}+5-m^7}{5m^2-m^9+\frac{1}{m}}=$
$= \frac{1+5m^3-m^{10}}{m^3}:\frac{5m^3-m^{10}+1}{m}=$
$= \frac{m\left(1+5m^3-m^{10}\right)}{m^3\left(1+5m^3-m^{10}\right)}=\frac{1}{m^2}.$