Завдання № 4 С-6 [12М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 30)

Тема: Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. Властивість бісектриси трикутника. Застосування подібності трикутників до розв’язування задач

Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 1 см і 9 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

Розв'язок:

Нехай коло дотикається до бічної сторони AB в точці M, причому AM = 9 см, MB = 1 см. Проведемо радіус OM. Маємо OM ⟂ AB.
Розглянемо трикутник AOB.
Згідно властивості трапеції: сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. Для бічної сторони AB маємо
∠A + ∠B = 180°.
Оскільки O — центр вписаного кола, то AO і BO — бісектриси кутів A і B. Тоді
$∠OAB = \frac{1}{2}∠A,$
$∠ABO = \frac{1}{2}∠B.$
Додаємо:
$∠OAB + ∠ABO = $
$=\frac{1}{2} (∠A + ∠B) = \frac{1}{2} · 180° = $
$= 90°.$
Але ∠OAB + ∠ABO + ∠AOB = 180°, тому
∠AOB = 180° − 90° = 90°.
Отже, △AOB — прямокутний (кут AOB = 90°).
У прямокутному △AOB висота OM, опущена на гіпотенузу AB (OM ⟂ AB), ділить її на відрізки AM і MB, тому за теоремою про середній пропорційний відрізок у прямокутному трикутнику
OM² = AM · MB.
Підставимо:
OM² = 9 · 1 = 9,
OM = 3 (см).
Висота трапеції дорівнює подвоєному радіусу вписаного кола:
h = 2 · OM = 6 (см).

Відповідь:

6 см.