Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Прямокутник. Ромб. Квадрат

У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC, катет якого дорівнює 10 см, вписано квадрат CDFL так, що прямий кут у трикутника і квадрата спільний, F ∈ AB. Знайдіть периметр квадрата.

Розв'язок:

Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠А = ∠В. 
Згідно теореми про суму гострих кутів прямокутного трикутника:
∠А + ∠В = 90° ⇒ 2∠А = 90° ⇒ ∠А = ∠В = 45°.
Оскільки CDFL квадрат, то 
CD = DF = FL = LC.
Згідно властивості квадрата усі його куті прямі:
CD ⊥ DF ⊥ FL ⊥ LC.
У △ADF (∠D = 90°): 
∠AFD = 90° − ∠A = 90° − 45° = 45°.
∠AFD = ∠A ⇒ △ ADF — рівнобедрений прямокутний з основою (гіпотенузою) AF.
AD = DF — як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
У △FLB (∠L = 90°): 
∠LFB = 90° − ∠B = 90° − 45° = 45°.
∠LFB = ∠B ⇒ △FLB — рівнобедрений прямокутний з основою (гіпотенузою) FB.
FL = LB — як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
Оскільки AD та LB рівні бічним сторонам квадрата, то 
LB = LC = AD = DC = AC : 2 = 10 : 2 = 5 (см).
Згідно властивості периметр квадрата:
Р_CDFL = 4 ∙ a = 4 ∙ 5 = 20 (см).

Відповідь:

✅ Р = 20 см.