Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Прямокутник. Ромб. Квадрат

У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC вписано квадрат DFMN, D ∈ AC, N ∈ BC, F ∈ AB, M ∈ AB. Периметр квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть AB.

Розв'язок:

Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠А = ∠В. 
Згідно теореми про суму гострих кутів прямокутного трикутника:
∠А + ∠В = 90° ⇒ 2∠А = 90° ⇒ ∠А = ∠В = 45°.
Оскільки DFMN квадрат, то 
DF = FM = MN = ND.
Згідно властивості квадрата усі його кути прямі:
DF ⊥ FM ⊥ MN ⊥ ND.
У △AFD (∠F = 90°): 
∠ADF = 90° − ∠A = 90° − 45° = 45°.
∠ADF = ∠A ⇒ △AFD — рівнобедрений прямокутний з основою (гіпотенузою) AD.
AF = FD — як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
У △NMB (∠M = 90°): 
∠MNB = 90° − ∠B = 90° − 45° = 45°.
∠MNB = ∠B ⇒ △MNB — рівнобедрений прямокутний з основою (гіпотенузою) NB.
MN = MB — як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
Сторона квадрата = Р_MNDF : 4 = 20 : 4 = 5 (см).
Оскільки AF та MB рівні бічним сторонам квадрата, то 
AB = AF + FM + MB = 5 + 5 + 5 = 15 (см).

Відповідь:

✅ AB = 15 см.