Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 10)

Тема: Прямокутник. Ромб. Квадрат

У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC вписано квадрат KLMN так, що N ∈ AC, M ∈ BC, K ∈ AB, L ∈ AB, AB = 12 см. Знайдіть периметр квадрата.

Розв'язок:

Так як в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, то ∠А = ∠В. 
Згідно теореми про суму гострих кутів прямокутного трикутника:
∠А + ∠В = 90° ⇒ 2∠А = 90° ⇒ ∠А = ∠В = 45°.
Оскільки NKLM квадрат, то 
NK = KL = ML = NM.
Згідно властивості квадрата усі його кути прямі:
NK ⊥ KL ⊥ ML ⊥ NM.
У △AKN (∠K = 90°): 
∠ANK = 90° − ∠A = 90° − 45° = 45°.
∠ANK = ∠A ⇒ △AKN — рівнобедрений прямокутний з основою (гіпотенузою) AN.
AK = NK — як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
У △MLB (∠L = 90°): 
∠LMB = 90° − ∠B = 90° − 45° = 45°.
∠LMB = ∠B ⇒ △MLB — рівнобедрений прямокутний з основою (гіпотенузою) MB.
ML = LB — як бічні сторони рівнобедреного трикутника.
Оскільки AK та LB рівні бічним сторонам квадрата, то 
AK = KL = LB = AB : 3 = 12 : 3 = 4(см).
Згідно властивості периметр квадрата:
Р_KLMN = 4 ∙ KL = 4 ∙ 4 = 16 (см).

Відповідь:

✅ Р = 16 см.