Завдання № 9 ДР-2 [4М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 23)

Тема: Трапеція. Вписані та описані чотирикутники.
Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника та трапеції

Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл. Більша основа трапеції дорівнює 14 см, а бічна сторона — 8 см. Визначте довжини відрізків, на які діагональ ділить середню лінію трапеції.

Розв’язок:

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD з основами AD і BC (AD ∥ BC). Діагональ AC ділить гострий кут ∠BAD навпіл (∠BAC = ∠DAC). EF — середня лінія, AC перетинає її в точці G. Відомо: AD = 14 см (більша основа), CD = 8 см (бічна сторона). Знайти EG і GF.

1. Знайдемо меншу основу BC
• Оскільки AD ∥ BC, то ∠DAC = ∠BCA (внутрішні різносторонні при січній AC).
• За умовою, ∠DAC = ∠BAC.
• Звідси ∠BCA = ∠BAC.
• У трикутнику ABC два кути рівні (∠BCA = ∠BAC) ⇒ трикутник ABC рівнобедрений з основою AC.
• Тоді BC = AB.
• Оскільки трапеція рівнобічна, AB = CD.
• AB = CD = 8 см, отже менша основа BC = 8 см.

2. Знайдемо довжини відрізків середньої лінії
Діагональ AC ділить середню лінію EF на відрізки EG і GF, які є середніми лініями трикутників ABC і ADC відповідно.

• У трикутнику ABC: EG ∥ BC, 

тому EG = BC : 2 = 8 : 2 = 4 см.

• У трикутнику ADC: GF ∥ AD,

тому GF = AD : 2 = 14 : 2 = 7 см.

Відповідь:

4 см; 7 см.