Завдання № 9 ДР-2 [4М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 21)

Тема: Трапеція. Вписані та описані чотирикутники.
Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника та трапеції

Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середня лінія — на відрізки 3 см і 4 см. Знайдіть периметр трапеції.

Розв’язок:

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD з основами AD і BC (AD ∥ BC), у якій AB = CD. Діагональ AC ділить гострий кут ∠BAD навпіл (∠BAC = ∠DAC). EF — середня лінія, AC перетинає її в точці G. Дано: EG = 3 см, GF = 4 см. Знайти PABCD.

1. Знайдемо основи трапеції (AD і BC)
Середня лінія трапеції EF ділиться діагоналлю AC на відрізки EG і GF, які є середніми лініями трикутників ABC і ADC відповідно.
• Для трикутника ABC: EG = 3 см є середньою лінією, паралельною BC.
Згідно з властивістю середньої лінії трикутника:

BC = 2 · EG = 2 · 3 = 6 см.

• Для трикутника ADC: GF = 4 см є середньою лінією, паралельною AD.
Згідно з властивістю середньої лінії трикутника:

AD = 2 · GF = 2 · 4 = 8 см.

2. Знайдемо бічні сторони (AB і CD)
• Оскільки AD ∥ BC, то ∠DAC = ∠BCA (внутрішні різносторонні кути при січній AC).
• За умовою, ∠DAC = ∠BAC.
• З цього випливає, що ∠BCA = ∠BAC.
• У трикутнику ABC два кути рівні (∠BCA = ∠BAC), отже трикутник ABC рівнобедрений з основою AC.
• Тоді BC = AB.
• Оскільки BC = 6 см, то AB = 6 см.
• Трапеція рівнобічна ⇒ CD = AB = 6 см.

3. Периметр — це сума всіх сторін:
P_ABCD = AD + BC + AB + CD =

= 8 + 6 + 6 + 6 = 26 см.

Відповідь:

26 см.