Завдання № 9 ДР-2 [4М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 20)

Тема: Трапеція. Вписані та описані чотирикутники.
Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника та трапеції

Діагональ рівнобічної трапеції ділить її тупий кут навпіл, а середню лінію – на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трапеції.

Розв’язок:

Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD з основами AD та BC (AD ∥ BC), у якій AB = CD. Діагональ AC ділить тупий кут ∠BCD навпіл, тобто ∠BCA = ∠DCA. EF — середня лінія, EG = 4 см, GF = 5 см. Знайти P_ABCD.

1. Середня лінія трапеції EF ділиться діагоналлю AC на відрізки EG і GF, які є середніми лініями трикутників ABC і ADC відповідно.
• Для трикутника ABC: EG = 4 см є середньою лінією, паралельною BC.
Згідно з властивістю середньої лінії трикутника:

BC = 2 ∙ EG = 2 ∙ 4 = 8 см.

• Для трикутника ADC: GF = 5 см є середньою лінією, паралельною AD.
Згідно з властивістю середньої лінії трикутника:

AD = 2 ∙ GF = 2 ∙ 5 = 10 см.

2. Знайдемо бічну сторону (AB і CD)
• Оскільки AD ∥ BC, то ∠CAD = ∠BCA (як внутрішні різносторонні кути при січній AC).
• За умовою, ∠BCA = ∠DCA.
• З цього випливає, що ∠CAD = ∠DCA.
• Оскільки в трикутнику ADC два кути рівні (∠CAD = ∠DCA), то трикутник ADC є рівнобедреним з бічними сторонами AD і CD.
• Отже, CD = AD = 10 см.
• Оскільки трапеція рівнобічна, то AB = CD = 10 см.

3. Периметр — це сума всіх сторін:
P_ABCD = AD + BC + AB + CD =

= 10 + 8 + 10 + 10 = 38 см.

Відповідь:

38 см.