Завдання № 4 С-4 [6М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 18)

Тема: Тотожні перетворення раціональних виразів.
Раціональні рівняння.

Доведіть, що значення виразу
$\left(\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y-2}+\ \frac{4y}{y^2-4}\right)\cdot$
$\cdot\left(\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y-2}-\ \frac{4y}{y^2-4}\right)$
не залежить від значення змінної.

$\left(\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y-2}+\ \frac{4y}{y^2-4}\right)\cdot$

$\cdot\left(\frac{y}{y+2}+\frac{2}{y-2}-\ \frac{4y}{y^2-4}\right)=$

$=\left(\ \frac{y\left(y-2\right)+2\left(y+2\right)+4y}{y^2-4}\right)\cdot$

$\cdot\left(\ \frac{y\left(y-2\right)+2\left(y+2\right)-4y}{y^2-4}\right)=$

$=\left(\ \frac{y^2-2y+2y+4+4y}{y^2-4}\right)\cdot$

$\cdot\left(\ \frac{y^2-2y+2y+4-4y}{y^2-4}\right)=$

$= \ \frac{y^2+4y+4}{y^2-4}\cdot\frac{y^2-4y+4}{y^2-4}=$

$=\frac{\left(y+2\right)^2}{\left(y-2\right)\left(y+2\right)}\cdot\frac{\left(y-2\right)^2}{\left(y-2\right)\left(y+2\right)}=$

$= \frac{\left(y+2\right)^2}{\left(y+2\right)^2}\cdot\frac{\left(y-2\right)^2}{\left(y-2\right)^2}=1.$