Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 10)

Тема: Додавання та віднімання дробів

Доведіть тотожність $\frac{15x-2,5y}{9x^2+1,5xy}-\frac{15x+2,5y}{9x^2-1,5xy}+$
$+\frac{60x}{9x^2-0,25y^2}=\frac{40}{6x+y}$

Розв’язок:

Спростимо ліву частину тотожності. Для цього спочатку зведемо перших два дроби до спільного знаменника:
$\frac{15x-2,5y}{9x^2+1,5xy}-\frac{15x+2,5y}{9x^2-1,5xy}$ $=\frac{\left(15x-2,5y\right)\left(9x^2-1,5xy\right)-\left(15x+2,5y\right)\left(9x^2+1,5xy\right)}{\left(9x^2+1,5xy\right)\left(9x^2-1,5xy\right)};$
Розкриємо кожен добуток:
$\left(15x-2{,}5y\right)\left(9x^2-1{,}5xy\right)=$
$=135x^3-22{,}5x^2y-22{,}5x^2y+$
$+3{,}75xy^2=135x^3-45x^2y+$
$+3{,}75xy^2;$
$\left(15x+2{,}5y\right)\left(9x^2+1{,}5xy\right)=$
$=135x^3+22{,}5x^2y+22{,}5x^2y+$
$+3{,}75xy^2=135x^3+45x^2y+$
$+3{,}75xy^2;$
$\left(9x^2+1{,}5xy\right)\left(9x^2-1{,}5xy\right)=$
$=\left(9x^2\right)^2-\left(1{,}5xy\right)^2=$
$=81x^4-2{,}25x^2y^2;$
Обчислюємо різницю чисельників:
$\left(135x^3-45x^2y+3{,}75xy^2\right)-$
$-\left(135x^3+45x^2y+3{,}75xy^2\right)=$
$=-90x^2y$
Отримаємо:
$\frac{-90x^2y}{81x^4-2,25x^2y^2}=\frac{-\left(9x^2\right)\cdot10y}{9x^2\cdot\left(9x^2-0,25y^2\right)}=$
$=\frac{-10y}{9x^2-0,25y^2};$
Додаємо третій дріб:
$\frac{-10y}{9x^2-0,25y^2}+\frac{60x}{9x^2-0,25y^2}=\frac{60x-10y}{9x^2-0,25y^2}=$
$=\frac{10\left(6x-y\right)}{0,25\left(36x^2-y^2\right)}=\frac{10\left(6x-y\right)}{0,25\left(6x-y\right)\left(6x+y\right)}=$
$=\frac{10}{0,25\left(6x+y\right)}=\frac{40}{6x+y}$

Відповідь:

✅Тотожність доведено.