Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Додавання та віднімання дробів

Доведіть тотожність $\frac{9x-1,5y}{9x^2+1,5xy}-\frac{9x+1,5y}{9x^2-1,5xy}+$
$+\frac{36x}{9x^2-0,25y^2}=\frac{24}{6x+y}$

Розв’язок:

Спростимо ліву частину тотожності. Для цього спочатку зведемо перших два дроби до спільного знаменника:
$\frac{9x-1,5y}{9x^2+1,5xy}-\frac{9x+1,5y}{9x^2-1,5xy}=$
$=\frac{\left(9x-1,5y\right)\left(9x^2-1,5xy\right)-\left(9x+1,5y\right)\left(9x^2+1,5xy\right)}{\left(9x^2+1,5xy\right)\left(9x^2-1,5xy\right)};$
Розкриємо кожен добуток:
$\left(9x-1{,}5y\right)\left(9x^2-1{,}5xy\right)=$
$=81x^3-13{,}5x^2y-$
$-13{,}5x^2y+2{,}25xy^2=$
$=81x^3-27x^2y+2{,}25xy^2;$
$\left(9x+1{,}5y\right)\left(9x^2+1{,}5xy\right)=$
$=81x^3+13{,}5x^2y+$
$+13{,}5x^2y+2{,}25xy^2=$
$=81x^3+27x^2y+2{,}25xy^2;$
$\left(9x^2+1{,}5xy\right)\left(9x^2-1{,}5xy\right)=$
$=\left(9x^2\right)^2-\left(1{,}5xy\right)^2=$
$=81x^4-2{,}25x^2y^2.$
Обчислюємо різницю чисельників:
$\left(81x^3-27x^2y+2{,}25xy^2\right)-$
$-\left(81x^3+27x^2y+2{,}25xy^2\right)=$
$=-54x^2y$
Отримаємо:
$\frac{-54x^2y}{81x^4-2,25x^2y^2}=\frac{-\left(9x^2\right)\cdot6y}{9x^2\cdot\left(9x^2-0,25y^2\right)}=$
$=\frac{-6y}{9x^2-0,25y^2}$
Додаємо третій дріб:
$\frac{-6y}{9x^2-0,25y^2}+\frac{36x}{9x^2-0,25y^2}=\frac{36x-6y}{9x^2-0,25y^2}=$
$=\frac{6\left(6x-y\right)}{0,25\left(36x^2-y^2\right)}=\frac{6\left(6x-y\right)}{0,25\left(6x-y\right)\left(6x+y\right)}=$
$=\frac{6}{0,25\left(6x+y\right)}=\frac{24}{6x+y}$

Відповідь:

✅Тотожність доведено.