Сторінка 36
409. Не використовуючи лінійку з поділками, поділіть заданий відрізок на 8 рівних частин.
Розв'язок:
1) Нехай $AB$ — заданий відрізок. Проведемо довільний промінь $AC$ і відкладемо на ньому циркулем послідовно 8 рівних відрізків:
$AC_1 = C_1C_2 = \ldots = C_7C_8$.
2) Проведемо пряму $C_8B$.
3) Через точки $C_1$, $C_2$, …, $C_7$ за допомогою косинця і лінійки проведемо прямі, паралельні прямій $C_8B$. Вони перетнуть $AB$ у точках $D_1$, $D_2$, …, $D_7$.
За теоремою Фалеса ці прямі поділяють відрізок $AB$ на 8 рівних частин:
$AD_1 = D_1D_2 = \ldots = D_7B$.
410. Не використовуючи лінійку з поділками, поділіть заданий відрізок на дві частини у відношенні $2 : 3$.
Розв'язок:
$2 + 3 = 5$ — на стільки рівних частин поділимо відрізок.
1) Нехай $AB$ — заданий відрізок. Проведемо довільний промінь $AC$ і відкладемо на ньому циркулем послідовно 5 рівних відрізків:
$AC_1 = C_1C_2 = \ldots = C_4C_5$.
2) Проведемо пряму $C_5B$.
3) Через точку $C_2$ за допомогою косинця і лінійки проведемо пряму, паралельну прямій $C_5B$. Вона перетне $AB$ у точці $M$.
Прямі, паралельні $C_5B$, проведені через $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, за теоремою Фалеса поділили б $AB$ на 5 рівних частин. Відрізок $AM$ містить 2 такі частини, а $MB$ — 3, тому
$AM : MB = 2 : 3$.
411. Заданий відрізок поділіть на дві частини у відношенні $4 : 1$, не використовуючи лінійку з поділками.
Розв'язок:
$4 + 1 = 5$ — на стільки рівних частин поділимо відрізок.
1) Нехай $AB$ — заданий відрізок. Проведемо довільний промінь $AC$ і відкладемо на ньому циркулем послідовно 5 рівних відрізків:
$AC_1 = C_1C_2 = \ldots = C_4C_5$.
2) Проведемо пряму $C_5B$.
3) Через точку $C_4$ за допомогою косинця і лінійки проведемо пряму, паралельну прямій $C_5B$. Вона перетне $AB$ у точці $M$.
За теоремою Фалеса прямі, паралельні $C_5B$, які проходять через $C_1$, …, $C_4$, поділили б $AB$ на 5 рівних частин. $AM$ містить 4 такі частини, $MB$ — 1, тому
$AM : MB = 4 : 1$.
412. Не використовуючи лінійку з поділками, заданий відрізок поділіть на три частини у відношенні $1 : 4 : 3$.
Розв'язок:
$1 + 4 + 3 = 8$ — на стільки рівних частин поділимо відрізок.
1) Нехай $AB$ — заданий відрізок. Проведемо довільний промінь $AC$ і відкладемо на ньому циркулем послідовно 8 рівних відрізків:
$AC_1 = C_1C_2 = \ldots = C_7C_8$.
2) Проведемо пряму $C_8B$.
3) Через точки $C_1$ і $C_5$ ($1 + 4 = 5$) за допомогою косинця і лінійки проведемо прямі, паралельні прямій $C_8B$. Вони перетнуть $AB$ у точках $M$ і $N$.
За теоремою Фалеса прямі, паралельні $C_8B$, які проходять через $C_1$, …, $C_7$, поділили б $AB$ на 8 рівних частин. $AM$ містить 1 таку частину, $MN$ — 4, $NB$ — 3, тому
$AM : MN : NB = 1 : 4 : 3$.
413. Заданий відрізок поділіть на три частини у відношенні $1 : 2 : 3$, не використовуючи лінійку з поділками.
Розв'язок:
$1 + 2 + 3 = 6$ — на стільки рівних частин поділимо відрізок.
1) Нехай $AB$ — заданий відрізок. Проведемо довільний промінь $AC$ і відкладемо на ньому циркулем послідовно 6 рівних відрізків:
$AC_1 = C_1C_2 = \ldots = C_5C_6$.
2) Проведемо пряму $C_6B$.
3) Через точки $C_1$ і $C_3$ ($1 + 2 = 3$) за допомогою косинця і лінійки проведемо прямі, паралельні прямій $C_6B$. Вони перетнуть $AB$ у точках $M$ і $N$.
За теоремою Фалеса прямі, паралельні $C_6B$, які проходять через $C_1$, …, $C_5$, поділили б $AB$ на 6 рівних частин. $AM$ містить 1 таку частину, $MN$ — 2, $NB$ — 3, тому
$AM : MN : NB = 1 : 2 : 3$.
414. На малюнку 84 прямі $A_1B_1$ і $A_2B_2$ – паралельні. $OA_1 = A_1A_2$, $OA_1 : OB_1 = 7 : 4$, $A_1A_2 - B_1B_2 = 9$ см. Знайдіть $OA_1$, $A_1A_2$, $OB_1$, $B_1B_2$.
Розв'язок:
Паралельні прямі $A_1B_1$ і $A_2B_2$ відтинають на стороні кута $O$ рівні відрізки $OA_1 = A_1A_2$. За теоремою Фалеса $OB_1 = B_1B_2$.
Нехай $OA_1 = 7x$ см, тоді $OB_1 = 4x$ см, $A_1A_2 = 7x$ см, $B_1B_2 = 4x$ см.
$7x - 4x = 9$;
$3x = 9$;
$x = 3$.
$OA_1 = A_1A_2 = 7 \cdot 3 = 21$ (см);
$OB_1 = B_1B_2 = 4 \cdot 3 = 12$ (см).
Відповідь: $OA_1 = A_1A_2 = 21$ см,
$OB_1 = B_1B_2 = 12$ см.
415. Прямі $A_1B_1$ і $A_2B_2$ – паралельні (мал. 84), $OB_1 = B_1B_2$, $OB_1 : OA_1 = 5 : 8$, $A_1A_2 + B_1B_2 = 26$ см. Знайдіть $OA_1$, $A_1A_2$, $OB_1$, $B_1B_2$.
Розв'язок:
Паралельні прямі $A_1B_1$ і $A_2B_2$ відтинають на стороні кута $O$ рівні відрізки $OB_1 = B_1B_2$. За теоремою Фалеса $OA_1 = A_1A_2$.
Нехай $OB_1 = 5x$ см, тоді $OA_1 = 8x$ см, $B_1B_2 = 5x$ см, $A_1A_2 = 8x$ см.
$8x + 5x = 26$;
$13x = 26$;
$x = 2$.
$OA_1 = A_1A_2 = 8 \cdot 2 = 16$ (см);
$OB_1 = B_1B_2 = 5 \cdot 2 = 10$ (см).
Відповідь: $OA_1 = A_1A_2 = 16$ см,
$OB_1 = B_1B_2 = 10$ см.
416. Точки $K$ і $M$ ділять медіану $AD$ трикутника $ABC$ на три рівні частини ($AK = KM = MD$). У якому відношенні пряма $CK$ ділить сторону $AB$?
Розв'язок:
Нехай пряма $CK$ перетинає $AB$ у точці $P$. Через точки $M$ і $D$ проведемо прямі, паралельні $CP$; вони перетнуть $AB$ у точках $Q$ і $E$.
Паралельні прямі $KP$, $MQ$, $DE$ відтинають на стороні $AD$ кута $A$ рівні відрізки $AK = KM = MD$. За теоремою Фалеса
$AP = PQ = QE$.
Нехай $AP = x$, тоді $PE = 2x$.
У куті $B$: $D$ — середина $BC$ ($AD$ — медіана), $DE \parallel CP$. За теоремою Фалеса
$BE = EP = 2x$.
$PB = PE + EB = 2x + 2x = 4x$;
$AP : PB = x : 4x = 1 : 4$.
Відповідь: $1 : 4$, рахуючи від вершини $A$.
417. Точка $N$ – середина медіани $BL$ трикутника $ABC$. $CN$ перетинає $AB$ у точці $D$. Знайдіть $AD : DB$.
Розв'язок:
Через точку $L$ проведемо пряму, паралельну $CD$; вона перетне $AB$ у точці $E$.
У куті $A$: $L$ — середина $AC$ ($BL$ — медіана), $LE \parallel CD$. За теоремою Фалеса
$AE = ED$.
У куті $B$: $N$ — середина $BL$, $ND \parallel LE$. За теоремою Фалеса
$BD = DE$.
Отже, $AE = ED = DB$. Нехай $DB = x$, тоді $AD = 2x$;
$AD : DB = 2x : x = 2 : 1$.
Відповідь: $2 : 1$.
418. Накресліть довільний прямокутний $\triangle ABC$ та його найбільшу середню лінію $MN$.
Розв'язок:
Нехай $\angle C = 90^\circ$. Найбільша сторона прямокутного трикутника — гіпотенуза $AB$. Середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, тому найбільша середня лінія паралельна гіпотенузі.
Позначимо середину $M$ катета $AC$ і середину $N$ катета $BC$ та сполучимо їх: $MN$ — шукана середня лінія, $MN \parallel AB$, $MN = \frac{1}{2}AB$.
419. Накресліть довільний тупокутний $\triangle DKL$ та його найбільшу середню лінію $FN$.
Розв'язок:
Нехай $\angle K$ — тупий. Найбільша сторона тупокутного трикутника лежить проти тупого кута — це $DL$. Середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, тому найбільша середня лінія паралельна $DL$.
Позначимо середину $F$ сторони $DK$ і середину $N$ сторони $KL$ та сполучимо їх: $FN$ — шукана середня лінія, $FN \parallel DL$, $FN = \frac{1}{2}DL$.
420. $MN$ – середня лінія трикутника $ABC$ (мал. 85). Знайдіть:
1) $MN$, якщо $AB = 12$ см;
2) $AB$, якщо $MN = 7$ см.
Розв'язок:
Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна: $MN = \frac{1}{2}AB$.
1) $MN = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ (см).
2) $AB = 2MN = 2 \cdot 7 = 14$ (см).
Відповідь: 1) 6 см;
2) 14 см.
421. $MN$ – середня лінія трикутника $ABC$ (мал. 85). Знайдіть:
1) $AB$, якщо $MN = 5$ см;
2) $MN$, якщо $AB = 14$ см.
Розв'язок:
Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна: $MN = \frac{1}{2}AB$.
1) $AB = 2MN = 2 \cdot 5 = 10$ (см).
2) $MN = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ (см).
Відповідь: 1) 10 см;
2) 7 см.
422. Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, дорівнює 3 дм. Знайдіть третю сторону трикутника.
Розв'язок:
Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, — його середня лінія. Вона дорівнює половині третьої сторони, тому третя сторона:
$2 \cdot 3 = 6$ (дм).
Відповідь: 6 дм.
423. Одна зі сторін трикутника дорівнює 18 дм. Знайдіть довжину відрізка, що сполучає середини двох інших сторін.
Розв'язок:
Відрізок, що сполучає середини двох інших сторін, — середня лінія трикутника, паралельна стороні 18 дм. Вона дорівнює половині цієї сторони:
$18 : 2 = 9$ (дм).
Відповідь: 9 дм.
424. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см. Знайдіть довжину відрізка, що сполучає середини бічних сторін трикутника.
Розв'язок:
Відрізок, що сполучає середини бічних сторін, — середня лінія трикутника, паралельна основі. Вона дорівнює половині основи:
$24 : 2 = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.
425. Відрізок, що сполучає середини двох бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 6 см. Знайдіть основу трикутника.
Розв'язок:
Відрізок, що сполучає середини бічних сторін, — середня лінія трикутника, паралельна основі. Основа вдвічі більша за неї:
$2 \cdot 6 = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.
426. Одна із середніх ліній рівностороннього трикутника дорівнює 9 см. Знайдіть периметр трикутника.
Розв'язок:
Середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, тому сторона трикутника:
$2 \cdot 9 = 18$ (см).
Усі сторони рівностороннього трикутника рівні:
$P = 3 \cdot 18 = 54$ (см).
Відповідь: 54 см.