Сторінка 37
233. Спростіть:
1) $\frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{6a}$;
2) $\frac{x^2-4}{9-y^2}:\frac{x-2}{3+y}-\frac{2}{3-y}$;
3) $\frac{1-2y}{2y+1}+\frac{y^2+3y}{4y^2-1}\cdot\frac{2+4y}{3+y}$;
4) $\frac{y+2}{y^2-2y+1}\cdot\frac{5y-5}{y^2-4}-\frac{5}{y-2}$.
Розв'язок:
1) $\frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{6a} =$
$= \frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2\cdot b}{b^2\cdot 6a} =$
$= \frac{a+8b}{2b}-\frac{a}{2b} =$
$= \frac{a+8b-a}{2b} =$
$= \frac{8b}{2b} =$
$= 4$
2) $\frac{x^2-4}{9-y^2}:\frac{x-2}{3+y}-\frac{2}{3-y} =$
$= \frac{(x-2)(x+2)}{(3-y)(3+y)}\cdot\frac{3+y}{x-2}-\frac{2}{3-y} =$
$= \frac{x+2}{3-y}-\frac{2}{3-y} =$
$= \frac{x+2-2}{3-y} =$
$= \frac{x}{3-y}$
3) $\frac{1-2y}{2y+1}+\frac{y^2+3y}{4y^2-1}\cdot\frac{2+4y}{3+y} =$
$= \frac{1-2y}{2y+1}+\frac{y(y+3)\cdot 2(2y+1)}{(2y-1)(2y+1)(y+3)} =$
$= \frac{1-2y}{2y+1}+\frac{2y}{2y-1} =$
$= \frac{(1-2y)(2y-1)+2y(2y+1)}{(2y-1)(2y+1)} =$
$= \frac{2y-1-4y^2+2y+4y^2+2y}{4y^2-1} =$
$= \frac{6y-1}{4y^2-1}$
4) $\frac{y+2}{y^2-2y+1}\cdot\frac{5y-5}{y^2-4}-\frac{5}{y-2} =$
$= \frac{(y+2)\cdot 5(y-1)}{(y-1)^2(y-2)(y+2)}-\frac{5}{y-2} =$
$= \frac{5}{(y-1)(y-2)}-\frac{5}{y-2} =$
$= \frac{5-5(y-1)}{(y-1)(y-2)} =$
$= \frac{10-5y}{(y-1)(y-2)} =$
$= \frac{-5(y-2)}{(y-1)(y-2)} =$
$= \frac{5}{1-y}$
Відповідь: 1) $4$;
2) $\frac{x}{3-y}$;
3) $\frac{6y-1}{4y^2-1}$;
4) $\frac{5}{1-y}$.
234. Спростіть:
1) $\left(\frac{x}{x-5}-2x\right):\frac{11-2x}{x-5}$;
2) $\frac{3a^2+3a}{12a+8}\cdot\left(2+\frac{a}{a+1}\right)$;
3) $\left(\frac{x+3}{x-3}-\frac{x-3}{x+3}\right):\frac{12x}{x^2+6x+9}$;
4) $\frac{y^2-9}{2y^2+1}\cdot\left(\frac{6y+1}{y-3}+\frac{6y-1}{y+3}\right)$.
Розв'язок:
1) $\left(\frac{x}{x-5}-2x\right):\frac{11-2x}{x-5} =$
$= \frac{x-2x(x-5)}{x-5}:\frac{11-2x}{x-5} =$
$= \frac{x-2x^2+10x}{x-5}\cdot\frac{x-5}{11-2x} =$
$= \frac{x(11-2x)}{11-2x} =$
$= x$
2) $\frac{3a^2+3a}{12a+8}\cdot\left(2+\frac{a}{a+1}\right) =$
$= \frac{3a(a+1)}{4(3a+2)}\cdot\frac{2(a+1)+a}{a+1} =$
$= \frac{3a(a+1)}{4(3a+2)}\cdot\frac{3a+2}{a+1} =$
$= \frac{3a}{4}$
3) $\left(\frac{x+3}{x-3}-\frac{x-3}{x+3}\right):\frac{12x}{x^2+6x+9} =$
$= \frac{(x+3)^2-(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}:\frac{12x}{(x+3)^2} =$
$= \frac{x^2+6x+9-x^2+6x-9}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{(x+3)^2}{12x} =$
$= \frac{12x(x+3)^2}{(x-3)(x+3)\cdot 12x} =$
$= \frac{x+3}{x-3}$
4) 1)
$\frac{6y+1}{y-3}+\frac{6y-1}{y+3} =$
$= \frac{(6y+1)(y+3)+(6y-1)(y-3)}{(y-3)(y+3)} =$
$= \frac{6y^2+19y+3+6y^2-19y+3}{y^2-9} =$
$= \frac{12y^2+6}{y^2-9}$
2)
$\frac{y^2-9}{2y^2+1}\cdot\frac{12y^2+6}{y^2-9} =$
$= \frac{6(2y^2+1)}{2y^2+1} =$
$= 6$
Відповідь: 1) $x$;
2) $\frac{3a}{4}$;
3) $\frac{x+3}{x-3}$;
4) $6$.
235. Виконайте дії:
1) $\left(x-\frac{5x}{x+2}\right):\frac{x-3}{x+2}$;
2) $\left(\frac{2a}{2a-1}+1\right)\cdot\frac{6a-3}{4a^2-a}$;
3) $\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}\right):\frac{2x^2+8}{x^2+4x+4}$;
4) $\left(\frac{5a+b}{a-5b}+\frac{5a-b}{a+5b}\right):\frac{a^2+b^2}{a^2-25b^2}$.
Розв'язок:
1) $\left(x-\frac{5x}{x+2}\right):\frac{x-3}{x+2} =$
$= \frac{x(x+2)-5x}{x+2}:\frac{x-3}{x+2} =$
$= \frac{x^2-3x}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-3} =$
$= \frac{x(x-3)}{x-3} =$
$= x$
2) $\left(\frac{2a}{2a-1}+1\right)\cdot\frac{6a-3}{4a^2-a} =$
$= \frac{2a+2a-1}{2a-1}\cdot\frac{3(2a-1)}{a(4a-1)} =$
$= \frac{(4a-1)\cdot 3(2a-1)}{(2a-1)\cdot a(4a-1)} =$
$= \frac{3}{a}$
3) $\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}\right):\frac{2x^2+8}{x^2+4x+4} =$
$= \frac{(x-2)^2+(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}:\frac{2(x^2+4)}{(x+2)^2} =$
$= \frac{x^2-4x+4+x^2+4x+4}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{(x+2)^2}{2(x^2+4)} =$
$= \frac{2(x^2+4)(x+2)^2}{(x+2)(x-2)\cdot 2(x^2+4)} =$
$= \frac{x+2}{x-2}$
4) 1)
$\frac{5a+b}{a-5b}+\frac{5a-b}{a+5b} =$
$= \frac{(5a+b)(a+5b)+(5a-b)(a-5b)}{(a-5b)(a+5b)} =$
$= \frac{5a^2+26ab+5b^2+5a^2-26ab+5b^2}{a^2-25b^2} =$
$= \frac{10(a^2+b^2)}{a^2-25b^2}$
2)
$\frac{10(a^2+b^2)}{a^2-25b^2}:\frac{a^2+b^2}{a^2-25b^2} =$
$= \frac{10(a^2+b^2)}{a^2-25b^2}\cdot\frac{a^2-25b^2}{a^2+b^2} =$
$= 10$
Відповідь: 1) $x$;
2) $\frac{3}{a}$;
3) $\frac{x+2}{x-2}$;
4) $10$.
236. Виконайте дії:
1) $\left(1-\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right)\cdot\frac{y}{x-y}$;
2) $\left(1+\frac{x}{y}\right):\left(1-\frac{x}{y}\right)$;
3) $\left(\frac{a}{a-1}+1\right):\left(1-\frac{3a^2}{1-a^2}\right)$;
4) $\left(\frac{2a}{b^2}-\frac{1}{2a}\right):\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{2a}\right)$.
Розв'язок:
1) $\left(1-\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right)\cdot\frac{y}{x-y} =$
$= \frac{y^2-2xy+x^2}{y^2}\cdot\frac{y}{x-y} =$
$= \frac{(x-y)^2\cdot y}{y^2(x-y)} =$
$= \frac{x-y}{y}$
2) $\left(1+\frac{x}{y}\right):\left(1-\frac{x}{y}\right) =$
$= \frac{y+x}{y}:\frac{y-x}{y} =$
$= \frac{y+x}{y}\cdot\frac{y}{y-x} =$
$= \frac{x+y}{y-x}$
3) $\left(\frac{a}{a-1}+1\right):\left(1-\frac{3a^2}{1-a^2}\right) =$
$= \frac{a+a-1}{a-1}:\frac{1-a^2-3a^2}{1-a^2} =$
$= \frac{2a-1}{a-1}:\frac{1-4a^2}{1-a^2} =$
$= \frac{2a-1}{a-1}\cdot\frac{(1-a)(1+a)}{(1-2a)(1+2a)} =$
$= \frac{(2a-1)(1-a)(1+a)}{(a-1)(1-2a)(1+2a)} =$
$= \frac{1+a}{1+2a}$
4) $\left(\frac{2a}{b^2}-\frac{1}{2a}\right):\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{2a}\right) =$
$= \frac{4a^2-b^2}{2ab^2}:\frac{2a+b}{2ab} =$
$= \frac{(2a-b)(2a+b)}{2ab^2}\cdot\frac{2ab}{2a+b} =$
$= \frac{2a-b}{b}$
Відповідь: 1) $\frac{x-y}{y}$;
2) $\frac{x+y}{y-x}$;
3) $\frac{a+1}{2a+1}$;
4) $\frac{2a-b}{b}$.
237. Спростіть:
1) $\left(1+\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)\cdot\frac{b}{a+b}$;
2) $\left(1-\frac{a}{2b}\right):\left(1+\frac{a}{2b}\right)$;
3) $\left(\frac{a}{a-2}+1\right):\left(a+\frac{a^2}{2-a}\right)$;
4) $\left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)$.
Розв'язок:
1) $\left(1+\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)\cdot\frac{b}{a+b} =$
$= \frac{b^2+2ab+a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{a+b} =$
$= \frac{(a+b)^2\cdot b}{b^2(a+b)} =$
$= \frac{a+b}{b}$
2) $\left(1-\frac{a}{2b}\right):\left(1+\frac{a}{2b}\right) =$
$= \frac{2b-a}{2b}:\frac{2b+a}{2b} =$
$= \frac{2b-a}{2b}\cdot\frac{2b}{2b+a} =$
$= \frac{2b-a}{2b+a}$
3) $\left(\frac{a}{a-2}+1\right):\left(a+\frac{a^2}{2-a}\right) =$
$= \frac{a+a-2}{a-2}:\frac{a(2-a)+a^2}{2-a} =$
$= \frac{2a-2}{a-2}:\frac{2a}{2-a} =$
$= \frac{2(a-1)}{a-2}\cdot\frac{2-a}{2a} =$
$= -\frac{a-1}{a} =$
$= \frac{1-a}{a}$
4) $\left(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right) =$
$= \frac{x^2-y^2}{xy^2}:\frac{x-y}{xy} =$
$= \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x-y} =$
$= \frac{x+y}{y}$
Відповідь: 1) $\frac{a+b}{b}$;
2) $\frac{2b-a}{2b+a}$;
3) $\frac{1-a}{a}$;
4) $\frac{x+y}{y}$.
238. Спростіть вираз:
1) $\left(\frac{x}{y^2-xy}+\frac{y}{x^2-xy}\right)\cdot\frac{xy}{y-x}$;
2) $\left(\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a}{ab+b^2}\right):\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a+b}\right)$;
3) $\left(\frac{7}{x+7}+\frac{x^2+49}{x^2-49}-\frac{7}{x-7}\right):\frac{x+1}{2}$;
4) $\left(\frac{4m-8}{m^3-2m^2}-\frac{n+2}{n^3+2n^2}\right)\cdot\frac{mn}{2n-m}$.
Розв'язок:
1) $\left(\frac{x}{y^2-xy}+\frac{y}{x^2-xy}\right)\cdot\frac{xy}{y-x} =$
$= \left(\frac{x}{y(y-x)}-\frac{y}{x(y-x)}\right)\cdot\frac{xy}{y-x} =$
$= \frac{x^2-y^2}{xy(y-x)}\cdot\frac{xy}{y-x} =$
$= \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2} =$
$= \frac{x+y}{x-y}$
2) 1)
$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a}{ab+b^2} =$
$= \frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a}{b(a+b)} =$
$= \frac{b(a-b)-a^2}{ab(a+b)} =$
$= -\frac{a^2-ab+b^2}{ab(a+b)}$
2)
$\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a+b} =$
$= \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a+b} =$
$= \frac{b^2+a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} =$
$= \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}$
3)
$-\frac{a^2-ab+b^2}{ab(a+b)}:\frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} =$
$= -\frac{(a^2-ab+b^2)\cdot a(a-b)(a+b)}{ab(a+b)(a^2-ab+b^2)} =$
$= -\frac{a-b}{b} =$
$= \frac{b-a}{b}$
3) $\left(\frac{7}{x+7}+\frac{x^2+49}{x^2-49}-\frac{7}{x-7}\right):\frac{x+1}{2} =$
$= \frac{7(x-7)+x^2+49-7(x+7)}{(x+7)(x-7)}:\frac{x+1}{2} =$
$= \frac{7x-49+x^2+49-7x-49}{x^2-49}\cdot\frac{2}{x+1} =$
$= \frac{x^2-49}{x^2-49}\cdot\frac{2}{x+1} =$
$= \frac{2}{x+1}$
4) $\left(\frac{4m-8}{m^3-2m^2}-\frac{n+2}{n^3+2n^2}\right)\cdot\frac{mn}{2n-m} =$
$= \left(\frac{4(m-2)}{m^2(m-2)}-\frac{n+2}{n^2(n+2)}\right)\cdot\frac{mn}{2n-m} =$
$= \left(\frac{4}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)\cdot\frac{mn}{2n-m} =$
$= \frac{4n^2-m^2}{m^2n^2}\cdot\frac{mn}{2n-m} =$
$= \frac{(2n-m)(2n+m)\cdot mn}{m^2n^2(2n-m)} =$
$= \frac{2n+m}{mn}$
Відповідь: 1) $\frac{x+y}{x-y}$;
2) $\frac{b-a}{b}$;
3) $\frac{2}{x+1}$;
4) $\frac{2n+m}{mn}$.
239. Виконайте дії:
1) $\left(\frac{a}{ab-b^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{6ab}$;
2) $\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a}{ab+b^2}\right)$;
3) $\left(\frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}-\frac{a^2+25}{25-a^2}\right)\cdot\frac{a-5}{a^2+10a+25}$;
4) $\left(\frac{9a-9}{a^3-a^2}-\frac{12+4b^2}{3b^2+b^4}\right)\cdot\frac{ab}{3b+2a}$.
Розв'язок:
1) $\left(\frac{a}{ab-b^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{6ab} =$
$= \left(\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}\right)\cdot\frac{6ab}{a^2-b^2} =$
$= \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)}\cdot\frac{6ab}{a^2-b^2} =$
$= \frac{6}{a-b}$
2) 1)
$\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a+b} =$
$= \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a+b} =$
$= \frac{b^2+a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} =$
$= \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}$
2)
$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a}{ab+b^2} =$
$= \frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a}{b(a+b)} =$
$= \frac{b(a-b)-a^2}{ab(a+b)} =$
$= -\frac{a^2-ab+b^2}{ab(a+b)}$
3)
$\frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}:\left(-\frac{a^2-ab+b^2}{ab(a+b)}\right) =$
$= -\frac{(a^2-ab+b^2)\cdot ab(a+b)}{a(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)} =$
$= -\frac{b}{a-b} =$
$= \frac{b}{b-a}$
3) $\left(\frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}-\frac{a^2+25}{25-a^2}\right)\cdot\frac{a-5}{a^2+10a+25} =$
$= \left(\frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}+\frac{a^2+25}{a^2-25}\right)\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} =$
$= \frac{a(a+5)-a(a-5)+a^2+25}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} =$
$= \frac{a^2+10a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2} =$
$= \frac{(a+5)^2(a-5)}{(a-5)(a+5)^3} =$
$= \frac{1}{a+5}$
4) $\left(\frac{9a-9}{a^3-a^2}-\frac{12+4b^2}{3b^2+b^4}\right)\cdot\frac{ab}{3b+2a} =$
$= \left(\frac{9(a-1)}{a^2(a-1)}-\frac{4(3+b^2)}{b^2(3+b^2)}\right)\cdot\frac{ab}{3b+2a} =$
$= \left(\frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}\right)\cdot\frac{ab}{3b+2a} =$
$= \frac{9b^2-4a^2}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{3b+2a} =$
$= \frac{(3b-2a)(3b+2a)\cdot ab}{a^2b^2(3b+2a)} =$
$= \frac{3b-2a}{ab}$
Відповідь: 1) $\frac{6}{a-b}$;
2) $\frac{b}{b-a}$;
3) $\frac{1}{a+5}$;
4) $\frac{3b-2a}{ab}$.