Сторінка 104
Варіант 1
С–2А
1. Спростіть вираз:
1) $\frac{3x}{x-2}-\frac{x+4}{x-2}$;
2) $\frac{b-y}{b^2-9}-\frac{y-3}{9-b^2}$;
3) $\frac{x-y}{x^2}-\frac{y-x}{xy}$;
4) $\frac{5b}{b-5}+b$.
Розв'язок:
1) $\frac{3x}{x-2}-\frac{x+4}{x-2} =$
$= \frac{3x-x-4}{x-2} =$
$= \frac{2x-4}{x-2} =$
$= \frac{2(x-2)}{x-2} =$
$= 2$
2) $\frac{b-y}{b^2-9}-\frac{y-3}{9-b^2} =$
$= \frac{b-y}{b^2-9}+\frac{y-3}{b^2-9} =$
$= \frac{b-y+y-3}{b^2-9} =$
$= \frac{b-3}{(b-3)(b+3)} =$
$= \frac{1}{b+3}$
3) $\frac{x-y}{x^2}-\frac{y-x}{xy} =$
$= \frac{y(x-y)-x(y-x)}{x^2y} =$
$= \frac{xy-y^2-xy+x^2}{x^2y} =$
$= \frac{x^2-y^2}{x^2y}$
4) $\frac{5b}{b-5}+b =$
$= \frac{5b+b(b-5)}{b-5} =$
$= \frac{5b+b^2-5b}{b-5} =$
$= \frac{b^2}{b-5}$
Відповідь: 1) $2$;
2) $\frac{1}{b+3}$;
3) $\frac{x^2-y^2}{x^2y}$;
4) $\frac{b^2}{b-5}$.
2. Спростіть вираз $\frac{1}{2x-6}-\frac{1}{9-3x}$ і знайдіть його значення, якщо $x = 4$.
Розв'язок:
$\frac{1}{2x-6}-\frac{1}{9-3x} =$
$= \frac{1}{2(x-3)}+\frac{1}{3(x-3)} =$
$= \frac{3+2}{6(x-3)} =$
$= \frac{5}{6(x-3)}$
Якщо $x = 4$, то $\frac{5}{6(4-3)} = \frac{5}{6}$.
Відповідь: $\frac{5}{6(x-3)}$; $\frac{5}{6}$.
3. Доведіть тотожність $\frac{3}{x}-\frac{6}{x^2+2x}=\frac{3}{x+2}$.
Доведення:
Спростимо ліву частину рівності:
$\frac{3}{x}-\frac{6}{x^2+2x} =$
$= \frac{3}{x}-\frac{6}{x(x+2)} =$
$= \frac{3(x+2)-6}{x(x+2)} =$
$= \frac{3x}{x(x+2)} =$
$= \frac{3}{x+2}$
Ліву частину звели до правої, отже, рівність є тотожністю.
С–2Б
1. Спростіть вираз:
1) $\frac{4x+9}{x^2-25}-\frac{3x+4}{x^2-25}$;
2) $\frac{y^2-7y}{y-3}-\frac{y+9}{3-y}$;
3) $x-8-\frac{x^2-x}{x+7}$;
4) $\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}+\frac{p}{p+q}+\frac{p}{q-p}$.
Розв'язок:
1) $\frac{4x+9}{x^2-25}-\frac{3x+4}{x^2-25} =$
$= \frac{4x+9-3x-4}{x^2-25} =$
$= \frac{x+5}{(x-5)(x+5)} =$
$= \frac{1}{x-5}$
2) $\frac{y^2-7y}{y-3}-\frac{y+9}{3-y} =$
$= \frac{y^2-7y}{y-3}+\frac{y+9}{y-3} =$
$= \frac{y^2-6y+9}{y-3} =$
$= \frac{(y-3)^2}{y-3} =$
$= y-3$
3) $x-8-\frac{x^2-x}{x+7} =$
$= \frac{(x-8)(x+7)-(x^2-x)}{x+7} =$
$= \frac{x^2-x-56-x^2+x}{x+7} =$
$= -\frac{56}{x+7}$
4) $\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}+\frac{p}{p+q}+\frac{p}{q-p} =$
$= \frac{p^2+q^2}{(p-q)(p+q)}+\frac{p}{p+q}-\frac{p}{p-q} =$
$= \frac{p^2+q^2+p(p-q)-p(p+q)}{(p-q)(p+q)} =$
$= \frac{p^2+q^2+p^2-pq-p^2-pq}{(p-q)(p+q)} =$
$= \frac{(p-q)^2}{(p-q)(p+q)} =$
$= \frac{p-q}{p+q}$
Відповідь: 1) $\frac{1}{x-5}$;
2) $y-3$;
3) $-\frac{56}{x+7}$;
4) $\frac{p-q}{p+q}$.
2. Доведіть, що для всіх допустимих значень змінних значення виразу $\frac{a^2+2ab}{a^2-4b^2}-\frac{2b^2}{ab-2b^2}$ не залежить від $a$ і $b$.
Доведення:
$\frac{a^2+2ab}{a^2-4b^2}-\frac{2b^2}{ab-2b^2} =$
$= \frac{a(a+2b)}{(a-2b)(a+2b)}-\frac{2b^2}{b(a-2b)} =$
$= \frac{a}{a-2b}-\frac{2b}{a-2b} =$
$= \frac{a-2b}{a-2b} =$
$= 1$
Для всіх допустимих значень змінних вираз дорівнює $1$, тобто не залежить від $a$ і $b$.
3. Доведіть тотожність $\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}+\frac{9}{3x+6}=1$.
Доведення:
Спростимо ліву частину рівності:
$\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}+\frac{9}{3x+6} =$
$= \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{9}{3(x+2)} =$
$= \frac{x-1}{x+2}+\frac{3}{x+2} =$
$= \frac{x+2}{x+2} =$
$= 1$
Ліву частину звели до правої, отже, рівність є тотожністю.
С–2В
1. Спростіть вираз:
1) $\frac{c^2-6c}{c^2-16}-\frac{2c-16}{c^2-16}$;
2) $\frac{ab-a}{a^3-27b^3}+\frac{3b^2-3b}{27b^3-a^3}$;
3) $2y+\frac{5y-2-3y^2}{3y-2}-1$;
4) $\frac{2}{0{,}2y^2-0{,}8}-\frac{0{,}5}{0{,}1y^2+0{,}2y}$.
Розв'язок:
1) $\frac{c^2-6c}{c^2-16}-\frac{2c-16}{c^2-16} =$
$= \frac{c^2-6c-2c+16}{c^2-16} =$
$= \frac{c^2-8c+16}{c^2-16} =$
$= \frac{(c-4)^2}{(c-4)(c+4)} =$
$= \frac{c-4}{c+4}$
2) $\frac{ab-a}{a^3-27b^3}+\frac{3b^2-3b}{27b^3-a^3} =$
$= \frac{ab-a-3b^2+3b}{a^3-27b^3} =$
$= \frac{a(b-1)-3b(b-1)}{a^3-27b^3} =$
$= \frac{(b-1)(a-3b)}{(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)} =$
$= \frac{b-1}{a^2+3ab+9b^2}$
3) $2y+\frac{5y-2-3y^2}{3y-2}-1 =$
$= \frac{(2y-1)(3y-2)+5y-2-3y^2}{3y-2} =$
$= \frac{6y^2-7y+2+5y-2-3y^2}{3y-2} =$
$= \frac{3y^2-2y}{3y-2} =$
$= \frac{y(3y-2)}{3y-2} =$
$= y$
4) $\frac{2}{0{,}2y^2-0{,}8}-\frac{0{,}5}{0{,}1y^2+0{,}2y} =$
$= \frac{20}{2y^2-8}-\frac{5}{y^2+2y} =$
$= \frac{10}{(y-2)(y+2)}-\frac{5}{y(y+2)} =$
$= \frac{10y-5(y-2)}{y(y-2)(y+2)} =$
$= \frac{5y+10}{y(y-2)(y+2)} =$
$= \frac{5(y+2)}{y(y-2)(y+2)} =$
$= \frac{5}{y(y-2)}$
Відповідь: 1) $\frac{c-4}{c+4}$;
2) $\frac{b-1}{a^2+3ab+9b^2}$;
3) $y$;
4) $\frac{5}{y(y-2)}$.
2. Доведіть тотожність $\frac{1}{y^2-2y}-\frac{2}{y^2-4}+\frac{1}{y^2+2y}=0$.
Доведення:
Спростимо ліву частину рівності:
$\frac{1}{y^2-2y}-\frac{2}{y^2-4}+\frac{1}{y^2+2y} =$
$= \frac{1}{y(y-2)}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}+\frac{1}{y(y+2)} =$
$= \frac{y+2-2y+y-2}{y(y-2)(y+2)} =$
$= \frac{0}{y(y-2)(y+2)} =$
$= 0$
Ліву частину звели до правої, отже, рівність є тотожністю.
3. Відомо, що $\frac{y}{x} = 5$. Знайдіть значення дробу:
1) $\frac{x+y}{x}$;
2) $\frac{3x-2y}{y}$.
Розв'язок:
1) $\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x}+\frac{y}{x} =$
$= 1+5 = 6$.
2) Якщо $\frac{y}{x} = 5$, то $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$.
$\frac{3x-2y}{y} = \frac{3x}{y}-\frac{2y}{y} =$
$= 3\cdot\frac{1}{5}-2 =$
$= \frac{3}{5}-2 = -1\frac{2}{5}$.
Відповідь: 1) $6$;
2) $-1\frac{2}{5}$.