Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.
Розв'язок:
1. Точка $O$ — центр кола є точкою перетину бісектрис кутів трапеції, зокрема точкою перетину бісектрис кутів $BCD$ і $CDA.$ Тому $∠COD = 90°.$
2. Точка $K$ — точка дотику кола до сторони $CD; OK ⊥ CD. OK$ — висота прямокутного трикутника, до яка проведена до гіпотенузи. За властивістю висоти:
$OK^2 = CK · KD. $
$OK^2 = 2 · 8 = 16; $
$OK = 4$ (см)
3. $LM = 2OL = 2OK =$
$= 2 · 4 = 8$ (см) — висота трапеції.
4. $AB = LM = 8$ (см).
5. Трапеція $ABCD$ — описана, тому
$AD + BC = AB + CD =$
$= 8 + 10 = 18$ (см).
6. $S\ =\ \frac{AB\ +\ CD}{2}· AB =$
$= \frac{18}{2} · 8 = 72$ (см2)
Відповідь:
$72$ см2.