ВПР 4 №7 Геометрія = ВПТ 10 №7 Математика
Сума кутів опуклого n-кутника у k разів більша за суму кутів опуклого (n − 1)-кутника (k – натуральне число). Знайдіть k.
Розв'язок:
$180°(n − 2) = 180°n − 360°$ — сума кутів n–кутника.
$180°(n − 1 − 2) =$
$= 180°n − 180° · 3 =$
$= 180°n − 540°$ — сума кутів $(n − 1)$–кутника.
За умовою $180°n − 360° =$
$= k(180°n − 540°).$
$k\ =\ \frac{180°n - 360°}{180°n - 540°};$
$k\ = \ \frac{180°(n-2)}{180°(n-3)};$
$k\ =\ \frac{n-2}{n-3};$
$k\ =\ \frac{n-3+1}{n-3} = 1 + \frac{1}{n-3}.$
Оскільки $n − 1 ≥ 3,$ то $n − 3$ — натуральне число, і $k$ натуральне лише тоді, коли 1 ділиться на $n − 3,$ а це можливо, якщо $n − 3 = 1,$ тобто при
$n = 4.$
Тоді $k = 2.$
Відповідь:
$2.$