№ 4.42 Геометрія = № 8.42 Математика
(Київська міська олімпіада, 1987 р.) Вписане в трикутник ABC коло дотикається до сторони BC у точці K . Доведіть, що відрізок AK довший за діаметр кола.
Розв'язок:
Нехай O — центр вписаного кола, MK — його діаметр (див. мал.).
Радіус OK перпендикулярний до дотичної BC, тому MK ⊥ BC.
Точка M кола лежить усередині трикутника ABC. Проведемо через неї пряму, паралельну BC; вона перетне сторони AB і AC у точках P і Q, і MK ⊥ PQ.
Точка P лежить між A і B, тому вершина A і точка K лежать по різні боки від прямої PQ. Отже, якщо A не лежить на прямій MK, то ∠AMK > 90°, тобто кут AMK — тупий.
У △AMK проти тупого кута лежить найбільша сторона, тому AK > MK.
Але MK = d — діаметр кола. Отже, AK > d, що й треба було довести.
Якщо ж точка A лежить на прямій MK (так буває, коли AB = AC), то точка M лежить між A і K, тому AK = AM + MK > MK = d.