№ 4.39 Геометрія = № 8.39 Математика
У чотирикутнику ABCD бісектриса кута A перетинає бісектриси кутів B і D під прямим кутом. Визначте вид чотирикутника ABCD.
Розв'язок:
ABCD — чотирикутник. AK, BM і DN — бісектриси кутів A, B і D відповідно.
DN ⊥ AK, BM ⊥ AK за умовою.
Тоді BM || DN за ознакою (дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні).
△APN = △APD за катетом і прилеглим гострим кутом (AP — спільний катет, ∠NAP = ∠DAP, бо AK — бісектриса).
Звідси ∠ANP = ∠ADP.
Але ∠ADP = ∠NDC (DN — бісектриса кута D), тому ∠ANP = ∠NDC, а це внутрішні різносторонні кути при прямих AB і CD та січній ND.
За ознакою AB || CD.
BNDM — паралелограм за означенням (BN || DM, BM || DN), тому BM = DN і ∠NBM = ∠NDM. Оскільки BM і DN — бісектриси, то ∠CBM = ∠NBM = ∠NDM = ∠ADN. Крім того, ∠BMC = ∠NBM і ∠AND = ∠NDM (внутрішні різносторонні кути при AB || CD), тобто ∠BMC = ∠AND. Тоді △MCB = △NAD за стороною і прилеглими кутами. Звідси BC = AD, CM = AN, тому AB = AN + NB = CM + MD = CD.
ABCD — паралелограм (протилежні сторони попарно рівні).