№ 10.25 Геометрія = № 18.25 Математика
Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут трапеції навпіл а середню лінію – на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції.
Розв'язок:
ABCD — трапеція, AD || BC, AB = CD, MN — середня лінія трапеції.
AC — діагональ, AC — бісектриса кута A. MK = 3 см, KN = 7 см.
У ΔABC M — середина AB. MK || BC як частина середньої лінії трапеції.
Тоді K — середина AC за теоремою Фалеса, а MK — середня лінія ΔABC, MK = $\frac{1}{2}$ BC.
Звідки BC = 2MK = 2 · 3 = 6 (см).
Аналогічно, KN — середня лінія ΔACD.
KN = $\frac{1}{2}$ AD, AD = 2KD =
= 2 · 7 = 14 (см).
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC.
Але ∠CAD = ∠BAC за умовою, тоді ∠BCA = ∠BAC і ΔABC — рівнобедрений, AB = BC = 6 см.
PABCD = AB + BC + CD + AD =
= 6 + 6 + 6 + 14 = 32 (см).
Відповідь:
32 см.