№ 6 ЗПС Алгебра = № 6 ЗПС Математика
Доведіть, що значення виразу $\frac{1}{1\ -\ a\ } + \frac{1}{1\ +\ a\ } + \frac{2}{1\ +\ a^2}+$
$+ \frac{4}{1\ +\ a^4 } + \frac{8}{1\ +\ a^8}$ є від’ємним для будь-якого значення $a > 1.$
Розв'язок:
$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+$
$+ \frac{8}{1+a^8} = \frac{1+a+1-a}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+$
$+\frac{4}{1+a^4}+ \frac{8}{1+a^8}=$
$= \frac{2\left(1+a^2\right)+ 2\left(1-a^2\right)}{1-a^4}+$
$+ \frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}=$
$= \frac{4\left(1+a^4\right)+4\left(1-a^4\right)}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8}=$
$= \frac{8}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8}=$
$= \frac{8\left(1+a^8\right)+8\left(1-a^8\right)}{1-a^{16}}=$
$= \frac{8+8a^8+8-8a^8}{1-a^{16}}=\frac{16}{1-a^{16}}.$
Оскільки $a>1,$ то $a^{16}>1.$
Отже, $1-a^{16}<0,$
тому $\frac{16}{1-a^{16}}<0,$ що й треба було довести.