№ 18.36 Алгебра = № 34.36 Математика
Обчисліть значення виразу:
$\frac{2}{\sqrt1\ +\ \sqrt{5\ }} + 9\frac{2}{\sqrt5\ +\ \sqrt{9\ }} +$
$+ \frac{2}{\sqrt9\ + \ \sqrt{13\ }} +… + \frac{2}{\sqrt{45}\ +\ \sqrt{49\ }},$
відтак дізнаєтеся, скільки разів футболіст Андрій Шевченко був володарем кубка України у складі команди «Динамо» (Київ).
Розв'язок:
Раціоналізуємо кожен дріб:
$\frac{2}{\sqrt1+\sqrt5}=\frac{2\left(\sqrt5-\sqrt1\right)}{\left(\sqrt5\right)^2-\left(\sqrt1\right)^2}=$
$= \frac{2\left(\sqrt5-\sqrt1\right)}{25-1}=\frac{\sqrt5-\sqrt1}{2},$
$\frac{2}{\sqrt5+\sqrt9}=\frac{2\left(\sqrt9-\sqrt5\right)}{\left(\sqrt9\right)^2-\left(\sqrt5\right)^2}=$
$= \frac{\sqrt9-\sqrt5}{2},$
$\frac{2}{\sqrt9+\sqrt{13}}=$
$= \frac{2\left(\sqrt{13}-\sqrt9\right)}{\left(\sqrt{13}\right)^2-\left(\sqrt9\right)^2}= \frac{\sqrt{13}-\sqrt9}{2},$
$\ldots$
$\frac{2}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}=$
$= \frac{2\left(\sqrt{49}-\sqrt{45}\right)}{\left(\sqrt{49}\right)^2-\left(\sqrt{45}\right)^2}= \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{2}.$
Складаємо:
$\frac{\sqrt5-\sqrt1}{2}+\frac{\sqrt9-\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt9}{2}+$
$+ \ldots+\frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{2}.$
Всі середні члени скорочуються:
$=-\sqrt1+\sqrt5-\sqrt5+\sqrt9-$
$- \sqrt9+\sqrt{13}+\ldots+$
$+ \sqrt{49}-\sqrt{45}.$
Залишається:
$\frac{1}{2}\left(\sqrt{49}-\sqrt1\right)=$
$= \frac{1}{2}\left(7-1\right)=\frac{6}{2}=3.$
Відповідь:
$3.$
Отже, Андрій Шевченко тричі ставав володарем Кубка України у складі «Динамо».