ВПР 1 №63 Алгебра = ВПТ 3 №26 Математика
Доведіть, що вираз $\frac{x^2}{x^2\ +\ 4x\ +\ 4} · \frac{8x^2\ -\ 32}{x^3\ -\ 2x^2} +$
$+ \frac{x^5\ -\ 8x^2}{x} : (x^2 − 4)$ для всіх допустимих значень змінної набуває лише додатних значень.
Розв'язок:
$\frac{x^2}{x^2+4x+4}\cdot\frac{8x^2-32}{x^3-2x^2}+$
$+\frac{x^5-8x^2}{x}:\left(x^2-4\right)=$
$= x^2+4>0;$
a)$ \frac{x^2}{x^2+4x+4}\cdot\frac{8x^2-32}{x^3-2x^2}=$
$= \frac{x^2\cdot8\left(x^2-4\right)}{\left(x+2\right)^2\cdot x^2\left(x-2\right)}=$
$= \frac{8x^2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x^2\left(x+2\right)^2\left(x-2\right)}=\frac{8}{x+2};$
б) $\frac{x^5-8x^2}{x}:\frac{x^2-4}{1}=\frac{x^2\left(x^3-8\right)}{x\left(x^2-4\right)}=$
$= \frac{x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=$
$= \frac{x\left(x^2+2x+4\right)}{x+2};$
в) $\frac{8}{x+2}+\frac{x\left(x^2+2x+4\right)}{x+2}=$
$= \frac{8+x^3+2x^2+4x}{x+2}=$
$= \frac{\left(x^3+2x^2\right)+\left(8+4x\right)}{x+2}=$
$= \frac{x^2\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)}{x+2}=$
$= \frac{\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)}{x+2}=x^2+4>0.$