№ 6.24 Алгебра = № 11.24 Математика
Доведіть тотожність
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}=$
$= \frac{8}{1-x^8}.$
Розв'язок:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}=$
$= \frac{1-x+1+x}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}=$
$= \frac{2}{1-x^2}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}=$
$= \frac{2\left(1+x^2\right)+2\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}+\frac{4}{1+x^4}= $
$= \frac{4}{1-x^4}+\frac{4}{1+x^4}= $
$= \frac{4\left(1+x^4\right)+4\left(1-x^4\right)}{\left(1-x^4\right)\left(1+x^4\right)}=$
$= \frac{4+4x^4+4-4x^4}{1-x^8}=\frac{8}{1-x^8},$
що й треба було довести.