№ 4.34 Алгебра = № 4.34 Математика
Спростіть вираз:
1) $\frac{a+1}{a^2+a+1}+\frac{a+2}{a^3-1};$
2) $\frac{2a}{a-3}+\frac{a}{a+3}+\frac{2a^2}{9-a^2};$
3) $\frac{4}{m^2+4m}+\frac{m+8}{4m+16};$
4) $\frac{2}{3b+6}+\frac{b^2-b-2}{b^2-4}-1.$
Розв'язок:
1) $\frac{a+1}{a^2+a+1}+\frac{a+2}{a^3-1}=$
$= \frac{a+1}{a^2+a+1}+\frac{a+2}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=$
$= \frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)+a+2}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=$
$= \frac{a^2-1+a+2}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=$
$= \frac{a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{1}{a-1};$
2) $\frac{2a}{a-3}+\frac{a}{a+3}+\frac{2a^2}{9-a^2}=$
$= \frac{2a}{a-3}+\frac{a}{a+3}-\frac{2a^2}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=$
$= \frac{2a\left(a+3\right)+a(a-3)-2a^2}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=$
$= \frac{{2a}^2+6a+a^2-3a-{2a}^2}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=$
$= \frac{a^2+3a}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=$
$= \frac{a(a+3)}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=\frac{a}{a-3};$
3) $\frac{4}{m^2+4m}+\frac{m+8}{4m+16}=$
$ = \frac{4}{m\left(m+4\right)}+\frac{m+8}{4\left(m+4\right)}=$
$= \frac{16+m^2+8m}{4m\left(m+4\right)}=$
$= \frac{\left(m+4\right)^2}{4m\left(m+4\right)}=\frac{\left(m+4\right)}{4m};$
4) $\frac{2}{3b+6}+\frac{b^2-b-2}{b^2-4}-1=$
$= \frac{2}{3\left(b+2\right)}+\frac{b^2-b-2}{\left(b-2\right)\left(b+2\right)}-1=$
$= \frac{2\left(b-2\right)+3\left(b^2-b-2\right)-3\left(b^2-4\right)}{3\left(b-2\right)\left(b+2\right)}=$
$=\frac{2b-4+3b^2-3b-6-3b^2+12}{3\left(b-2\right)\left(b+2\right)}=$
$= \frac{-b+2}{3\left(b-2\right)\left(b+2\right)}=$
$= -\frac{b-2}{3\left(b-2\right)\left(b+2\right)}=-\frac{1}{3\left(b+2\right)}=$
$= -\frac{1}{3b+6}.$