Завдання № 1.3

№ 1.3 Алгебра = № 1.3 Математика

Які з дробів є раціональними дробами:

1. $\frac{a}{a^2 - 3}$;
2. $\frac{m\left(n + \frac{1}{k}\right)}{p^2 - 2}$;
3. $\frac{x^2 - 4x + 5}{y^2 - 9}$;
4. $\frac{x}{\frac{x+2}{m-3}}$.

1. $\frac{a}{a^2-3}$

чисельник: $a$ — многочлен;

знаменник: $a^2-3$ — многочлен.

✅ Це раціональний дріб (при $a\neq\pm\sqrt3$).

2. $\frac{m\left(n+\frac{1}{k}\right)}{p^2-2}$

чисельник містить вираз $n+\frac{1}{k}$, а це не многочлен (бо є дробова частина $\frac{1}{k}$);

тому весь чисельник не є многочленом.

❌ Це не раціональний дріб.

3. $\frac{x^2-4x+5}{y^2-9}$

чисельник: $x^2-4x+5$ — многочлен;

знаменник: $y^2-9$ — многочлен.

✅ Це раціональний дріб (при $y\ \neq\pm3$).

4. $\frac{x}{\frac{x+2}{m-3}}$

знаменник — це не многочлен, а дріб $\frac{x+2}{m-3}$;
❌ Тому $\frac{x}{\frac{x+2}{m-3}}$ - це не раціональний дріб.

Але можна його перетворити:

$\frac{x}{\frac{x+2}{m-3}}=\frac{x\left(m-3\right)}{x+2}$

Тепер чисельник і знаменник — многочлени.

Після перетворення це раціональний дріб (при $x\ \neq-2,\ m\ \neq3)$.

1), 3).