№ 10.33 Алгебра = № 20.33 Математика
Доведіть, що для будь яких цілих значень m і n вираз набуває одного й того самого значення:
1. $\frac{2^m\cdot3^{n-1}-2^{m-1}\cdot3^n}{2^m\cdot2^n};$
2. $\frac{7^{2m}\cdot4^n}{{49}^{n+1}\cdot2^{2n-1}-{49}^{m-1}\cdot2^{2n+1}}.$
Розв'язок:
1. $\frac{2^m\cdot3^{n-1}-2^{m-1}\cdot3^n}{2^m\cdot2^n}=$
$= \frac{\frac{2^m\cdot3^n}{3}-\frac{2^m\cdot3^n}{2}}{2^m\cdot3^n}=$
$= \frac{2^m\cdot3^n\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)}{2^m\cdot3^n}=$
$= \frac{1}{3}-\frac{1}{2}= \frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6};$
2. $\frac{7^{2m}\cdot4^n}{{49}^{n+1}\cdot2^{2n-1}-{49}^{m-1}\cdot2^{2n+1}}=$
$= \frac{7^{2m}\cdot4^n}{\frac{49\cdot{49}^m\cdot2^{2n}}{2}-\frac{{49}^m\cdot2\cdot2^{2n}}{49}}=$
$= \frac{{49}^m\cdot4^n}{{49}^m\cdot4^n\left(\frac{49}{2}-\frac{2}{49}\right)}=$
$= \frac{1}{\frac{49}{2}-\frac{2}{49}}=\frac{1}{\frac{{49}^2-2^2}{49\cdot2}}=$
$= \frac{49\cdot2}{{49}^2-2^2}=\frac{49\cdot2}{(49-2)(49+2)}=$
$= \frac{49\cdot2}{47\cdot51}=\frac{98}{2397}.$