№ 23.29 Алгебра = № 43.28 Математика
Доведіть, що з будь-яких ста натуральних чисел можна вибрати кілька (можливо, й одне), сума яких ділитиметься на 100.
Розв'язок:
1. Нехай $x_1,\ldots x_{100}$ ˗ дані числа. Розглянемо суми $S_1=x_1;S_2=x_1+x_2; \ldots;$
$S_{100}=x_1+x_2+\ldots+x_{100}.$
Якщо хоча б одна із сум ділиться на $100,$ то задача розв'язана.
2. Нехай жодна із сум не ділиться на $100.$ При цьому остачі від ділення будуть числа $1;2;32...;99.$ За принципом Діріхле, як мінімум дві деякі суми будуть мати одну й ту саму остачу при діленні на $100.$
3. Нехай це будуть суми $S_k$ і $S_p$ де $k>l.$ Тоді $S_k-S_l=x_{l+1}+x_{l+2}+$
$+ \ldots+x_k$ ˗ ділиться на $100.$ Отже, $x_{l+1}+x_{l+2}+\ldots+x_k$ ˗ шукана сума.