Завдання № 21.28

№ 21.28 Алгебра =  № 41.28 Математика

(XV Всеукраїнська олімпіада, 1975 р.) Для яких натуральних значень n число 2ⁿ + 65 є квадратом цілого числа?

Розв'язок:

Розглянемо степені числа 2.

Останньою цифрою числа $2^n$ є $2,4,8$ або $6.$

1. Нехай n - непарне число. Тоді останньою цифрою числа $2^n$ є $2$ або $8$, а останньюю цифрою числа $2^n+65-7$ або $3.$ Квадрат цілого числа не може мати останньоко цифрою $7$ або $3.$

2. Нехай $n=2k$ ( k ˗ натуральне), тобто є парним числом. Тоді $2^{2k}+65=a^2.$ Тоді $a=2^k+y. $

Маємо $2^{2k}+65=\left(2^k+y\right)^2;$

$2^{2k}+65=2^{2k}+2y\cdot2^k+y^2; $

$2y\cdot2^k+y^2=65.$ Звідси $k\le5.$

3. Розглядаємо по черзі.

$k=1;2^{2\cdot1}+65=69;$

$k=2;2^{2\cdot2}+65=81=9^2;$

тоді $n=4;$

$k=3;2^{2\cdot3}+65=129;$

$k=4;2^{2\cdot4}+65=321;$

$k=5;2^{2\cdot5}+65=$

$= 1089={33}^2;$ тоді $n=10.$

Відповідь:

$n=4;n=10.$