№ 18.44 Алгебра = № 34.44 Математика
(Перша міжнародна математична олімпіада школярів, 1959 р.) Доведіть, що для будь-якого натурального значення n дріб $\frac{21n\ +\ 4}{14n\ +\ 3}$ є нескоротним.
Розв'язок:
За допомогою алгоритму Евкліда знайдемо НСД $(21n+4;14n+3).$
$\frac{21n+4}{14n+3}=\frac{(14x+3)+(7n+1)}{14n+3}=$
$= 1+\frac{7n+1}{14n+3};$
$\frac{14n+3}{7n+1}=\frac{(7n+1)+(7n+2)}{7n+1}=$
$= 1+\frac{7n+2}{7n+1};$
$\frac{7n+2}{7n+1}=\frac{(7n+1)+1}{7n+1}=$
$= 1+\frac{1}{7n+1}.$
Отже,
НСД $(21n+4;14n+3)$ =
= НСД $(14n+3;7n+1)$=
= НСД $(7n+1)=1.$
Оскільки найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу дорівнює 1, то дріб нескоротний, що й треба було довести.