Завдання № 14.32

№ 14.32 Алгебра = № 30.32 Математика

Чи існують такі прості числа x, y, z і t, для яких має місце рівність xyzt + 4 = x² + y² + z² + t²?

$xyzt+4=x^2+y^2+z^2+t^2.$
Прості числа — завжди непарні числа, або число 2 .

1. Нехай $x,y,z,t$ — непарні числа, тоді $xyzt+4$ — непарне число;
$x^2+y^2+z^2+t^2=$

$(2n+1)^2+(2m+1)^2+$

$+ (2k+1)^2+(2l+1)^2=$

$4n^2+4n+1+4m^2+4m+$

$+ 1+4k^2+4k+1+4l^2+$

$+ 4l+1=$

$4\left(n^2+m^2+\right. \left.l^2+l^2\right)+$

$+ 4(n+m+k+l)+4$

$-$ парне число. А рівність непарного і парного числа неможлива.

2. Нехай $x=y=z=t=2,$ тоді $16+4\neq4+4+4+4.$

3. Нехай $x=2;y,z,t$ — непарні числа, тоді $2·yzt=y^2+z^2+t^2.$ Ліва частина цієї рівності парна, а права частина $y^2+z^2+ t^2=$

$= (2n+1)^2+(2m+1)^2+$

$+ (2k+1)^2= 4n^2 +4n+1+$

$+ 4m^2+4m+1+4k^2+$

$+ 4k+1 = 4\left(n^2+m^2+k^2\right)+$

$+ 4(n+m+k)+3$ — непарне число. А рівність парного і непарного числа неможлива.

4. Нехай $x=y=2,z,t$ — непарні числа, тоді $4zt=4+z^2+t^2;$

$4zt-4=z^2+t^2; $

$4(zt-1)=(2n+1)^2+$

$+ (2m+1)^2;$

$4(zt-1)=4n^2+4n+1+$

$+ 4m^2+4m+1; $

$4(zt-1)=4\left(n^2+m^2\right)+$

$+ 4(n+m)+2;$

$4(zt-1)=$

$= 4\left(n^2+m^2+n+m\right)+2.$
Ліва частина цієї рівності націло ділиться на 4, а права частина при діленні на 4 дає остачу 2 , що неможливо.

5. Нехай $x=y=z=2,t$ — непарне число, тоді $8t+4=4+4+4+t^2;$

$8t=8+t^2; 8t-8=t^2;$

$8(t-1)=(2n+1)^2; $

$8(t-1)=4n^2+4m+1.$ Ліва частина цієї рівності парне число, а права - непарне число, що неможливо.

не існують такі прості числа $x, y,z і t,$ для яких мае місце рівність $xyzt +4=x^2+y^2+z^2+t^2. $