Завдання № 3.28

№ 3.28 Алгебра =  № 3.28 Математика

(Національна олімпіада Великої Британії, 1968 р.) Нехай a₁, a₂, …, a₇ – цілі числа, а b₁, b₂, …, b₇ – ті самі числа в іншому порядку.
Доведіть, що число (a₁ – b₁)(a₂ – b₂)…(a₇ – b₇) є парним.

Розв'язок:

1) Для того, щоб добуток
(a₁ – b₁)(a₂ – b₂) ... (a₇ – b₇)
був парним числом, достатньо, аби хоча б один із співмножників був парним числом.

2) Розглянемо суму (a₁ – b₁) +
+ (a₂ – b₂) + (a₃ – b₃) + ... +
+ (a₇ – b₇). Оскільки b₁, b₂, ..., b₇ — це числа a₁, a₂, ..., a₇, які узято в іншому порядку, то очевидно, що вказана сума дорівнює нулю.

3) Припустимо, що всі числа a₁ – b₁, a₂ – b₂, ..., a₇ – b₇ — непарні. Тоді й сума (a₁ – b₁) +
+ (a₂ – b₂) + ... + (a₇ – b₇) є числом непарним, а не нулем. Прийшли до протиріччя. Наше припущення неправильне.

4) Отже, серед чисел a₁ – b₁, a₂ – b₂, ..., a₇ – b₇ є хоча б одне парне, а тому й добуток
(a₁ – b₁)(a₂ – b₂) ... (a₇ – b₇) є парним числом, що й треба було довести.