№ 11.38 Алгебра = № 21.38 Математика
(Київська міська олімпіада, 1985 р.) Знайдіть усі трицифрові числа, які у 12 разів більші за суму своїх цифр.
Розв'язок:
Нехай x — сотні, y — десятки, z — одиниці, тоді, оскільки число трицифрове, то можна скласти рівняння:
100x + 10y + z
За умовою, сума цифр цього числа 12 ⋅ (x + y + z), тоді
12 ⋅ (x + y + z) = 100x + 10y + z
12x + 12y + 12z =
= 100x + 10y + z
100x − 12x + 12z – z = 12y – 10y
88x − 11z = 2y
Оскільки 88 і 11 діляться на 11, то і 2y теж має ділитися на 11.
Але 2 не ділиться на 11, отже, y = 0.
Отримуємо:
88x − 11z = 0 | : 11
8x – z = 0
x = 1, y = 0, z = 8.
Перевірка:
108 : (1 + 8) = 108 : 9 = 12
Відповідь:
це число 108.