Завдання № 10.38

№ 10.38 Алгебра =  № 20.38 Математика

(Олімпіада Нью-Йорка, 1977 р.) Розв’яжіть рівняння 2^x + 1 = y² в натуральних числах.

Розв'язок:

$2^x+1=y^2.$
Оскільки $2^x$ — парне число, то $2^x+1,$ а отже, і $y^2$ — непарне число. 
Звідки y — непарне число.
$2^x=y^2-1;$
$2^x=\left(y-1\right)\left(y+1\right).$
Оскільки y — непарне число, то $\left(y-1\right) і \left(y+1\right)$ — парні числа, до того ж послідовні, тому 
$2^x=2n\cdot\left(2n+2\right); n∈1;2;3;…$
$2^x=2n\cdot2\left(n+1\right);$ 
$2x=4n(n+1),$
де $n\left(n+1\right)$ — два послідовні натуральні числа, одне з яких парне, а друге непарне.
Оскільки $2^x,$ де $x$ — натуральне число, є добутком x штук двійок, то непарний множник може дорівнювати лише одиниці.
В нашому випадку $n=1,$ тоді
$n+1=2.\ \ 2^x=4\cdot1\cdot2;$

$ 2^x=8;2^x=2^3;\ x=3;$

$y=2^3+1;\ y^2=8+1; $

$y^2=9; y=3$ або $y-3$не є натуральним числом.

Відповідь:

x = 3; y = 3.